Apéndice 3. La Teoría de la Relatividad Restringida
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Introducción
PARA Albert Einstein, el experimento de Michelson, así como los otros análogos que conducían a considerar a la Tierra en estado de reposo, le llevaba a generalizar el principio de la relatividad mecánica de Galileo a una relatividad extendida a cualquier fenómeno físico, y enunciar que no es posible por ningún procedimiento físico interior a un sistema determinar el estado de movimiento rectilíneo y uniforme que dicho sistema pueda poseer; o lo que es lo mismo: las leyes que regulan cualquier fenómeno físico son las mismas en todos los sistemas de referencia que tengan los unos respecto a los otros un movimiento rectilíneo y uniforme.
Además, Einstein postuló que la velocidad de la luz es una constante universal, o sea, que tiene el mismo valor independientemente del sistema de referencia elegido y de la velocidad que tenga su foco emisor (principio de isometría del espacio), y, además, que dicha velocidad no puede ser superada por ningún movimiento.
Este principio debe expresarse matemáticamente por la invariancia de las fórmulas —no ya sólo de la mecánica (como vimos mediante el grupo de Galileo), sino de todos los fenómenos físicos y de la constancia de la velocidad de la luz— al pasar de un sistema de referencia a otro que se mueva de una forma rectilínea y con velocidad uniforme con relación al primero.
Concepto de simultaneidad
Antes de esto, es necesario revisar los conceptos de espacio y tiempo, teniendo en cuenta el principio de relatividad de Einstein, y particularmente revisar la idea de simultaneidad, que son imprescindibles para la descripción de los fenómenos físicos.
En general, es aceptado en un sistema de Galileo que puede considerarse en reposo, que los fenómenos ocurren en un determinado lugar y en un instante de tiempo determinado; de esta forma intervienen las tres coordenadas espaciales (x, y, z) y el tiempo t. Pero decir que un fenómeno ocurre en el punto (x, y, z) y en el tiempo t quiere decir que si tuviéramos un reloj en (x, y, z) marcaría la hora t. En la hipótesis de Galileo, el tiempo es absoluto, y por eso no es necesario colocar un reloj en cada punto, puesto que se supone que todos los relojes marcan la misma hora y, por tanto, con un solo reloj es suficiente.
¿Pero realmente podemos asegurar que todos los relojes tienen la misma hora? Veamos cómo podemos sincronizar los relojes situados en puntos diferentes del espacio. Supongamos que el reloj situado en el punto A marca la hora tA cuando enviamos una señal luminosa hacia el punto B, cuyo reloj marca la hora tB en el momento de recibir la señal A, señal que es inminentemente devuelta a A, llegando a este punto a las t’A. Decimos que los relojes en A y B están sincronizados si:
De esta forma podemos sincronizar tantos relojes como queramos. La relación de sincronía cumple las propiedades de que si el reloj en A es sincrónico del reloj en B, entonces el de B es sincrónico con el de A; así como la de ser sincrónicos entre sí los relojes en A y B si cada uno de ellos es sincrónico con un tercer reloj colocado en C.
Consecuentemente, decimos que dos fenómenos son simultáneos cuando ocurren a la misma hora en relojes sincrónicos colocados en los lugares de dichos fenómenos. La duración de un fenómeno será de diferencia de horas marcadas en los relojes situados en los puntos donde comenzó el término del fenómeno.
Supongamos ahora un laboratorio consistente en un foco luminoso F y en un espejo E, situado a una distancia d del foco F, y colocado de forma que la luz que incide en él vuelva reflejada hacia el foco F. Supongamos que este laboratorio se desplaza rectilíneamente y con una velocidad constante v con respecto al sistema que hemos supuesto fijo. Observamos que mientras en el laboratorio, la luz que sale del foco y vuelve a él tras ser reflejada en el espejo recorre un camino de longitud 2d, en el sistema de referencia fijo recorre más camino, ya que el espejo se desplaza mientras llega a él el rayo de luz y, de igual manera, el foco se desplaza durante el tiempo que tarda en reflejarse dicho rayo. Supongamos que es 2d’ la distancia recorrida por el rayo luminoso referido al sistema fijo. Basta conocer que la velocidad viene definida por el cociente entre el espacio recorrido por un móvil y el tiempo tardado en recorrer dicho espacio (
fórmula análoga a la contracción de Lorentz-Fiztgerald. Con lo que vemos que las distancias entre dos puntos fijos varían y dependen de la velocidad del sistema al que nos refiramos.
También para el tiempo podemos obtener este valor relativo dependiendo de la velocidad del sistema de referencia, apoyándonos en los mismos argumentos. En efecto, con el mismo ejemplo anterior, y teniendo en cuenta la invariancia de la velocidad de la luz, podemos expresar ésta, según el sistema a que nos refiramos, de las dos formas siguientes:
que expresa de forma análoga la «contracción» del tiempo según la velocidad del sistema de referencia respecto al que consideramos el fenómeno. Esto puede intepretarse diciendo que un reloj que se mueva a gran velocidad marcará el tiempo más lentamente que un reloj que permanezca en reposo, y es lo que ha conducido a la imagen del viajero de Langevin (1872-1946): un viajero que salga de la Tierra en un cohete que viaje a gran velocidad; cuando vuelva a la Tierra de regreso, pueden haber pasado varias generaciones mientras él apenas haya envejecido.
Este resultado, que puede parecer paradójico, se ha verificado experimentalmente según procedimiento indicado por el propio Einstein, consistente en utilizar átomos como relojes naturales. La frecuencia de las ondas electromagnéticas emitidas por un átomo puede compararse a la frecuencia de las oscilaciones de un péndulo (elemento esencial en los relojes tradicionales). Por tanto, si comparamos la frecuencia de esas ondas emitidas por un átomo en reposo con las emitidas por otro en movimiento, observaremos que la frecuencia en este caso es menor que en aquél. Este experimento fue realizado por primera vez en 1936 por H. Ives, en los laboratorios Bell de Nueva York, y posteriormente es un hecho común en cualquiera de las instalaciones para la investigación nuclear.
La relatividad del espacio y del tiempo
Estas consideraciones nos dejan patente la relatividad de la «medida» del espacio y del tiempo, que en cada caso habrá de hacerse con «metros» o «relojes» asociados a cada sistema de referencia y no considerarlos absolutos como se venía haciendo en la mecánica clásica de Newton. Este descubrimiento significó un gran impacto, no sólo para la Física, sino también para el hombre de la calle, como comenta Frank: «A finales de 1912 comprobé por primera vez que la teoría einsteniana de la “relatividad del tiempo” estaba a punto de convertirse en una sensación inolvidable para el mundo entero. En aquella época leí en Zurich un artículo de periódico de Viena encabezado con el siguiente título: El minuto en peligro. Una revolución de la ciencia matemática, en el que un profesor explicaba a sus asombrados lectores que, por medio de un juego matemático sin precedentes, un físico llamado Einstein había logrado probar que en determinadas condiciones, el tiempo podría contraerse o dilatarse, que en ciertas ocasiones podía transcurrir con rapidez y en otras con lentitud».
El aparente contrasentido que la contracción del espacio y del tiempo presenta en la vida corriente es que en el factor de contracción:
aparece el cociente V2-C2, cuyo numerador es, en general, tan pequeño comparado con el cuadrado de la velocidad de la luz (C2), que resulta de un valor prácticamente nulo, y, por tanto, dicho factor de contracción es prácticamente 1, lo que quiere decir que no hay contracción. Cosa diferente ocurre cuando la velocidad v es comparable con la velocidad de la luz, como ocurre en los fenómenos atómicos.
El Universo de cuatro dimensiones
En la mecánica clásica se considera el espacio y el tiempo absolutos. Pero en la física relativista hemos visto que tanto el espacio como el tiempo son relativos al sistema de referencia considerado para el estudio de los fenómenos. Por eso, al cambiar de un sistema a otro que se mueva respecto al primero con velocidad constante, se modifican, no sólo las coordenadas de los puntos en los que se verifica el fenómeno, sino también el tiempo en el que éste se desarrolla. Así, no podemos separar, como se hacía en la mecánica clásica, el tiempo de las tres coordenadas espaciales, sino que debemos considerar estos cuatro factores como inseparables. De esta manera, una vez fijado un sistema de referencias, cada punto del Universo tiene asociado cuatro números: tres, que en el lenguaje común diremos que fijan la posición o el lugar, y el cuarto, que fija el tiempo o la hora. Por eso se habla de que el Universo es un «espacio de cuatro dimensiones». No considerar el tiempo equivale a dar un corte sincrónico al Universo; todo sería estático, estaríamos considerando pura geometría. La diacronía nos hace el Universo en relieve y dinámico. Análogamente, si prescindiéramos de una de las dimensiones espaciales, tendríamos una imagen dinámica del mundo proyectada sobre una pantalla.
Comprobaciones experimentales de la teoría de la relatividad
Teniendo en cuenta los principios de la relatividad y de isometría de Einstein, se puede establecer el siguiente grupo de fórmulas, que nos indican el valor de las nuevas coordenadas espacio-temporales de un punto (x, y, z, t) cuando efectuamos un cambio de referencia a un sistema de coordenadas que se mueve con respecto al anterior a una velocidad rectilínea y constante de valor v; se ha considerado que el nuevo sistema espacial de referencia (X’, Y’, Z’) se-desplaza a lo largo del eje X del primitivo sistema de referencia espacial (X, Y, Z), es decir, que los ejes Y’, Z’ se mantienen paralelos a los ejes Y, Z.
Negación de la ley de suma de velocidades
Con la teoría de la relatividad de Einstein quedan explicados todos los fenómenos descubiertos en el siglo XIX y que no se ajustaban a las leyes de la mecánica clásica, En particular, podemos ver que no se cumple la ley de la suma de velocidades; para ello supongamos que el sistema de referencia R’(X’, Y’, Z’) se mueve con relación al sistema R(X, Y, Z) con velocidad v, y que en él, un móvil M se mueve con relación al sistema R’ con velocidad ω’.
Calculemos la velocidad w de M con relación a R.
Por la definición de la velocidad es evidente que en cada sistema de referencia se tiene
Aplicando las fórmulas de transformación de Lo-rentz se tiene que:
o lo que es igual
lo que indica que la resultante de componer las velocidades v y w’ no es suma, sino una cantidad menor, ya que se divide dicha suma por un número mayor que uno. También podemos observar que si las velocidades v y w’ fueran iguales a la velocidad de la luz, su composición seguiría teniendo por valor el de la velocidad de la luz, y no mayor; ya que sería
Equivalencia entre masa y energía
También se deduce de las hipótesis de Einstein la ecuación
E = mc2
en la que se relaciona la energía con la masa de un cuerpo, y deja patente la enorme cantidad de energía que queda encerrada en una masa, ya que aquélla es proporcional al cuadrado de la velocidad de la luz c. También de esta propiedad se deduce que si mo es la masa de un cuerpo en reposo, la masa de ese cuerpo cuando vaya a la velocidad v será
es decir, que la masa de un cuerpo crecerá en función del cuadrado de la velocidad que lleve.
Ya era conocido desde Maxwell, y experimentado posteriormente varias veces, que la luz que cae sobre una superficie ejerce sobre ella una presión como si las partículas de luz golpeasen dicha superficie.
El físico austríaco Hasenohrl (1874-1915) estudiando, en 1904, este fenómeno cuando la radiación de luz se encerraba en una vasija, vio que cuando la vasija radiaba una energía E, la masa «aparente» de la radiación decrecía de acuerdo con la fórmula E Y mc2; este descubrimiento parcial de Hasenohrl, nunca negado por Einstein, dio pie a científicos nazis para intentar minusvalorar la originalidad y potencia de la teoría einsteniana.
Resumiendo, podemos decir que los principios de relatividad y constancia de la velocidad de la luz de Einstein nos conducen a afirmar que el espacio y el tiempo que se consideran al estudiar un fenóme no físico no son absolutos, sino que dependen del sistema de referencia respecto al cual hagamos dicho estudio. También son consecuencia de la relatividad: el hecho de que la velocidad máxima de un cuerpo en la Naturaleza no pueda superar la velocidad de la luz y, por tanto, el no cumplirse la ley de que la composición de velocidades se realiza de acuerdo a la suma de las mismas; que la masa de un cuerpo depende de la velocidad que éste lleve, etc., y múltiples consecuencias que se infieren de estos hechos básicos.
